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收敛和大数定律

  1. 依分布收敛：

    \[ \forall x \in \mathbb R: \lim_{n \to \infty} F_n(x) = F(x) \]

  2. 依概率收敛：

    \[ \forall \epsilon > 0: \lim_{n \to \infty} \Pr(|\xi_n - \xi| > \epsilon) = 0 \]

  3. 服从（弱）大数定律： For a sequence of random variables \(\{\xi_n\}\), if there exists a sequence of constants \(\{a_n\}, \{b_n\}\), s.t.

    \[ \frac 1 {a_n} \sum_i^n \xi_i - b_i \xrightarrow{P} 0 \]

    则称 \(\{\xi_n\}\) 服从（弱）大数定律。

    • 特别地，如果 \(a_n = n\)，则就是我们常见的 Chebyshev, Khintchine 等大数定律的形式。